SISTEMAS NUMERICOS

LOS SISTEMAS NUMERICOS

En aritmética, álgebra y análisis matemático, un sistema numérico es un conjunto provisto de dos operaciones que verifican ciertas condiciones relacionadas con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.

Los sistemas numéricos se caracterizan por tener una estructura algebraica (monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobre un cuerpo), satisfacer propiedades de orden (orden total, buen orden) y propiedades topológicas y analíticas (densidad, metrizabilidad, completitud) adicionales.

El hombre se ha visto en la necesidad de contabilizar las cosas y es por ello que las distintas culturas, alrededor del mundo idearon sus propios sistemas de numeración.

Desde hace 5,000 años atrás, la mayoría de civilizaciones siempre han contado en unidades, centenas, millares, y así sucesivamente. De la misma forma que lo hacemos hoy en la actualidad; a excepción de la manera de escribir los números. La mayoría usaba distintas formas de numeración, muchos civilizaciones, se han visto impedidos de numerar por la falta de avances científicos y de no disponer de algún sistema que sea eficaz para calcular.

Quienes terminarían de perfeccionar nuestro sistema numérico actual serían los hindúes. Estos crearían símbolos que actualmente conocemos para identificar los números del 1 al 9 y todos sus usos en cifras de cualquier tamaño. Pero el mayor aporte que este pueblo le dio a las matemáticas y la numerología en general es la creación del número cero, que para sus inicios se llamaba Zunya que vendría a significar “hueco” o “vacío”.

Los sistemas numéricos que actualmente más se destacan son:

·         Sistema numérico ROMANO.

·         Sistema numérico ARABIGO (decimal).

·         Sistema numérico BINARIO.

SISTEMA NUMERICO ROMANO

El imperio romano difundió en toda Europa, el norte de África y Asia occidental su propio sistema numérico romano.

Después de la caída del imperio romano, algunas cosas se siguieron utilizando, pero fueron cambiando con el paso de los siglos. Pero en el caso del sistema de enumeración romano no cambiaron.

El sistema de numeración romana es un sistema de numeración no posicional que se desarrolló en la Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio romano.

Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para representar ciertos números, la mayor parte de números se escriben como combinaciones de letras. Por ejemplo, el año 2014 se escribe como MMXIV, donde cada M representa 1000, la X representa 10 más y IV representa cuatro unidades más (al ser V, que representa el 5, precedido por I, que representa el 1).

Los números romanos se usan actualmente para nombrar los siglos; en los actos y escena de una obra de teatro; en la designación de olimpiadas, congresos y certámenes; en la enumeración de reyes, emperadores y papas; entre otras.

El sistema de enumeración romano se compone de siete letras mayúsculas que representan a siete números arábigos.

Hay cuatro reglas fundamentales en el sistema de enumeración romano. Estas reglas son:

·        Una letra escrita la derecha de otra de igual o mayor valor le suma a esta su valor.

·        Las letras “I, X y C” escritas a la izquierda de una de las dos siguientes de mayor valor, le restara esta su valor.

·        Solo las letras “I, X, C y M” se pueden repetir, y solo tres veces como máximo.

·        Una raya escrita encima de una o varias letras multiplica su valor por 1.000. Solo se usa para números mayores o iguales a 4.000.

Sumar y restar con números romanos:

Para sumar números romanos debemos seguir los siguientes pasos:

1.- Convertimos las restas en sumas. Por ejemplo, IX debería ser reescrito como VIIII

2.- Concatenamos los dos números que queremos sumar

3.- Ordenamos los símbolos en orden decreciente según su valor

4.- Hacemos sumas internas de derecha a izquierda. Por ejemplo, si aparece IIIII lo reemplazamos por V

5.- Volvemos a convertir a restas en los lugares donde sea necesario para respetar las reglas de escritura antes descritas

·          38 + 63

        1. XXXVIII + LXIII

        2. XXXVIIILXIII

        3. LXXXXVIIIIII

        4. LXXXXXI

        5. LXLXI = 101

38 + 63= 101

La resta de números romanos es algo más sencilla que la suma. Los pasos a seguir para A - B son los siguientes:

        1.- Convertimos las restas en sumas

        2.- Eliminamos los símbolos comunes a A y a B

3.- Para el símbolo más grande que quede en B expandimos tomamos el primer símbolo de A mayor que él y lo expandimos. Después volvemos a aplicar el paso 2.-. Hacemos esto las veces que sea necesario

        4.- Volvemos a pasar a restas donde sea necesario

·         45 – 21

        1. XLV – XXI

        2. XLVXXI

        3. LXXXVI

        4. LXXXVI

        5. LXXXVI = 14

45 – 21 = 14

Sistema numérico ARABIGO (decimal)

Es el sistema de numeración decimal se utilizan 10 símbolos, del 0 al 9 para representar una determinada cantidad. Los diez símbolos no se limitan a representar diez cantidades diferentes, ya que se utilizan varios dígitos en las posiciones adecuadas dentro de un número para indicar la magnitud de la cantidad.

BASE: 10

SIMBOLOS: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.

También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.

Numeraciones decimales:

El sistema decimal es el más común. Por ejemplo, las numeraciones:

·         Árabe. ·         armenia. ·         china.

·         egipcia. ·         gótica. ·         griega.

·         hebrea. ·         inda. ·         japonesa.

·         mongol. ·         romana. ·         tchouvache.

·         thaï.

Este sistema, presenta el inconveniente de que necesita muchas cifras para la representación de un número grande, y es muy engorroso para un hombre.

Sin embargo, el sistema binario es el más adecuado a las maquinas electrónicas por varias razones:

1.    La mayor parte de las computadoras existentes representan la información y la procesan mediante elementos y circuitos electrónicos de dos estados (relés, núcleos de ferrita, etc.).

2.    Por la seguridad y la rapidez de respuesta de los elementos físicos de dos estados diferenciados (ON/OFF).

3.    Las operaciones aritméticas son sencillas.

Los quince primeros binarios se escriben:

Decimal	Binario
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1110

Ejemplos:

Dado el numero binario: “1011₂”, encontrar el equivalente decimal.

Si desarrollamos el número dado como potencias de 2 tendremos:

1011₂ = 1.2 ³ + 0.2 ² + 1.2 ¹ + 1.2 ⁰ = 1.8 + 0.4 + 1.2 + 1.1 = 8 + 2 + 1 = 11₁₀

Ahora vamos a realizar lo mismo pero con cifras decimales.

Dado el numero binario: “1011, 011₂”, encontrar el equivalente decimal.

1011, 011₂ = 1.2³ + 0.2² + 1.2¹ + 1.2⁰ + 0.2^-1 + 1.2^-2 + 1.2^-3 = 1.8+0.4+1.2+1.1+0.1/2+1.¹/₄+1.1/8 = 11,375₁₀

Sistema numérico BINARIO

Como en todo sistema de numeración, el valor de un dígito depende de su posición relativa en el número. Por ejemplo, en el sistema decimal de base diez el número 3 vale tres, treinta o trescientos dependiendo de su posición en el número:

3542= 3·103 + 5·102 + 4·101 + 2·100

3542= 3·1000+ 5·100 + 4·40 + 2·1

3542= 3000 + 500 + 40 + 2

El sistema binario, llamado también sistema diádico en ciencias de la computación, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es uno de los que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construyó una computadora basada en relés —a la cual apodó "Modelo K" (porque la construyó en una cocina, en inglés "kitchen") — que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1938, con Stibitz al mando.
El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una "Calculadora de Números Complejos", la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad Estadounidense de Matemática, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, quien escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.

Representación:

Ejemplo: el sistema binario puede ser representado solo por dos dígitos.

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de usar dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario:

                                                      1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

                                                       l  -  l  -  -  l  l  -  l  -

                                                       x o x o o x x o x o

                                                       y n y n n y y n y n

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajes diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada.

De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números arábigos, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son equivalentes:

·         100101 binario (declaración explícita de formato).

·         100101b (un sufijo que indica formato binario).

·         100101B (un sufijo que indica formato binario).

·         bin 100101 (un prefijo que indica formato binario).

·         100101₂ (un subíndice que indica base 2 (binaria) (notación).

·          %100101 (un prefijo que indica formato binario).

·         0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación).